【三角函数公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。以下是对常用三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a / c |
| 余弦（cos） | cosθ = b / c |
| 正切（tan） | tanθ = a / b |
| 余切（cot） | cotθ = b / a |
| 正割（sec） | secθ = c / b |
| 余割（csc） | cscθ = c / a |
二、三角函数的基本关系
| 公式 | 说明 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本恒等式 |
| tanθ = sinθ / cosθ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| cotθ = cosθ / sinθ | 余切与正弦、余弦的关系 |
| secθ = 1 / cosθ | 正割与余弦的关系 |
| cscθ = 1 / sinθ | 余割与正弦的关系 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | 与基本恒等式相关 |
| 1 + cot²θ = csc²θ | 与基本恒等式相关 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| sin(π/2 - θ) = cosθ | 余角公式 |
| cos(π/2 - θ) = sinθ | 余角公式 |
| sin(π - θ) = sinθ | 补角公式 |
| cos(π - θ) = -cosθ | 补角公式 |
| sin(π + θ) = -sinθ | π加角公式 |
| cos(π + θ) = -cosθ | π加角公式 |
| sin(2π - θ) = -sinθ | 360°减角公式 |
| cos(2π - θ) = cosθ | 360°减角公式 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 正弦和差公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 余弦和差公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 正切和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2sinθ cosθ | 正弦双角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 余弦双角公式 |
| tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) | 正切双角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 正弦半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 余弦半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | 正切半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A + B) + sin(A - B)] / 2 | 正弦乘余弦 |
| cosA cosB = [cos(A + B) + cos(A - B)] / 2 | 余弦乘余弦 |
| sinA sinB = [cos(A - B) - cos(A + B)] / 2 | 正弦乘正弦 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] | 正弦和化积 |
| sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] | 正弦差化积 |
| cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] | 余弦和化积 |
| cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] | 余弦差化积 |
九、反三角函数简要公式
| 函数 | 定义域 | 值域 |
| arcsin x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos x | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
通过以上内容，可以系统地掌握三角函数的核心公式及其应用方式。这些公式不仅是学习三角学的基础，也是解决实际问题时不可或缺的工具。建议结合图形和实际例子进行理解，有助于加深记忆和提高应用能力。