【和角公式倍角公式半角公式是什么】在三角函数的学习中，和角公式、倍角公式和半角公式是重要的基础内容，它们广泛应用于数学、物理、工程等领域。这些公式可以帮助我们简化复杂的三角表达式，解决实际问题。以下是对这三种公式的总结。
一、和角公式
和角公式用于计算两个角度的和或差的三角函数值。常见的有：
- 正弦和角公式：
$$
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
$$
$$
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta
$$
- 余弦和角公式：
$$
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
$$
- 正切和角公式：
$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}
$$
$$
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}
$$
二、倍角公式
倍角公式用于将一个角的三角函数表示为该角两倍或三倍的函数形式。
- 正弦倍角公式：
$$
\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha
$$
- 余弦倍角公式：
$$
\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha
$$
- 正切倍角公式：
$$
\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}
$$
三、半角公式
半角公式用于将一个角的一半的三角函数表示为该角的函数形式。
- 正弦半角公式：
$$
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
$$
- 余弦半角公式：
$$
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
$$
- 正切半角公式：
$$
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}
$$
四、总结表格
| 公式类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 和角公式 | 正弦和角公式 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$ |
| 余弦和角公式 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$ | |
| 正切和角公式 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$ | |
| 倍角公式 | 正弦倍角公式 | $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ | |
| 正切倍角公式 | $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ | |
| 半角公式 | 正弦半角公式 | $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ | |
| 正切半角公式 | $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ |
通过掌握这些公式，可以更灵活地处理三角函数相关的计算与推导，提高解题效率。建议多加练习，加深对这些公式的理解与应用。